A treatise on generating functions - download pdf or read online

By Hari Srivastava, H. L. Manocha

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2 x +y 2 c) j(x, y):= (xy, Inx). für (x,y)~(O, 0), f(O, 0):=0 ist in (0,0) stetig. 50 XIV Banachräume und Banachalgebren xy2 für (x,y)+(O, 0), f(O, 0):=0. : Aus xn ..... f(O, 0) = O. b) f ist im Nullpunkt unstetig; lim f(x,y) existiert nicht. 4. y_O +5. Die Funktion f(x, y) sei stetig auf [a, b) x [c, d). 1, daß lim limf(x,y)=lim limf(x,y)=f(a,c) ist. 3) lehrt, daß jedoch das x_ay_c y_cx_o Bestehen dieser Gleichung allein nicht die Stetigkeit in (a, c) sichert (vgl. Aufgabe 6). +6. Die Funktion f(x, y) sei auf Q:= [a, b) x [c, dJ definiert und auf Q mit Ausnahme des Punktes (a, c) stetig.

Weissingerscher Fixpunktsatz Sei x,*,0 eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes, A eine Selbstabbildung von X und (u n) die vermöge un:=Aun- 1 (n=l, 2, ... ) aus einem UoEX entspringende Iterationsfolge; ferner sei L'rY. n eine konvergente Reihe mit rY. n :;;' O. Ist nun für je zwei Iterationsfolgen (u n), (v n) mit beliebigen uo, Vo E X stets 1 Un- Vn 1 =s:; rY. n 1 Uo - Vo 11, so besitzt A genau einen Fixpunkt x in X, und dieser ist Grenzwert jeder Iterationsfolge (x n ) mit beliebigem Startpunkt XoEX.

Versieht man RP und Rq mit irgendwelchen Normen, die wir mit ein und demselben Symbol 11·11 bezeichnen, so nennt man eine Matrixnorm 1·1 auf 'ffl(q,p) verträglich mit diesen Normen, wenn die Abschätzung IIAxll,,;;: lAlllxII für alle XERP und alle AE'ffl(q,p) I) Die Quadratsummennorm ist gerade die ZZ-Norm auf Rqp, dagegen stimmen die Zeilensummen- und Spaltensummennorm nicht mit der /"'- bzw. /I-Norm auf Rqp überein. Die Aufgabe 4 macht deutlich, wie man auf diese Matrixnormen kommt. 58 XIV Banachräume und Banachalgebren gilt.

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